📐 산곡동 수학학원 Day 120
중1 입체도형 | 구의 부피 공식과 원리
🎯 핵심 개념
구의 부피는 구의 크기를 측정하는 중요한 수학적 개념입니다. 구의 부피를 계산하기 위해서는 반지름의 길이를 알아야 하며, 이를 통해 구의 부피를 구할 수 있습니다. 구의 부피 공식은 4/3 × π × 반지름3으로, 이는 구의 중심에서 표면까지의 거리인 반지름을 세 번 곱한 후, 상수 4/3과 원주율 π를 곱하여 구합니다. 이 공식은 구의 기하학적 특성을 이해하는 데 필수적입니다.
📐 공식과 성질
📌 기본 공식
구의 부피 = 4/3 × π × 반지름3
📌 응용
구의 표면적 = 4 × π × 반지름2
📌 주의사항
반지름의 단위가 일치해야 합니다. 단위가 다르면 부피 계산이 틀릴 수 있습니다.
📝 단계별 예시
🟢 기초 단계
가장 기본적인 개념을 이해하는 단계입니다.
예시 1 – 기본 개념 이해
반지름이 3cm인 구의 부피를 구하세요.
💡 풀이:
구의 부피 = 4/3 × π × 33 = 4/3 × π × 27 = 36π cm3
예시 2 – 기초 응용
반지름이 5cm인 구의 표면적을 구하세요.
💡 풀이:
구의 표면적 = 4 × π × 52 = 100π cm2
🟡 중급 단계
개념을 응용하고 확장하는 단계입니다.
예시 3 – 복합 응용
구의 부피가 288π cm3일 때, 구의 반지름을 구하세요.
💡 풀이:
4/3 × π × r3 = 288π
r3 = 216
r = 6 cm
예시 4 – 실전 유형
구의 표면적이 144π cm2일 때, 구의 반지름을 구하세요.
💡 풀이:
4 × π × r2 = 144π
r2 = 36
r = 6 cm
🔴 심화 단계
내신과 수능에 대비하는 고난도 단계입니다.
예시 5 – 고난도 문제
구의 부피가 구의 표면적의 3배일 때, 구의 반지름을 구하세요.
💡 풀이:
4/3 × π × r3 = 3 × (4 × π × r2)
r = 9 cm
예시 6 – 통합 문제
두 구의 반지름의 합이 10cm이고, 부피의 합이 500π cm3일 때, 두 구의 반지름을 구하세요.
💡 풀이:
r1 + r2 = 10
4/3 × π × (r13 + r23) = 500π
r1 = 6 cm, r2 = 4 cm
💡 시험 핵심 포인트
- ✅ 구의 부피 공식과 원리의 정의와 공식
- ✅ 내신/수능 출제 패턴
- ✅ 자주 틀리는 함정
- ✅ 실전 풀이 전략
- ✅ 빠른 계산 팁
