📐 산곡동 수학학원 Day 114
중1 입체도형 | 회전체의 정의와 원기둥, 원뿔, 구
🎯 핵심 개념
회전체는 평면 도형을 한 축을 중심으로 회전시켜 만들어지는 입체도형입니다. 원기둥, 원뿔, 구는 모두 회전체의 대표적인 예입니다. 원기둥은 직사각형을 한 축을 중심으로 회전시켜 만들고, 원뿔은 직각삼각형을 회전시켜 만듭니다. 구는 반원을 회전시켜 만들어지는 완전한 구형입니다. 이 도형들은 각각의 성질과 공식을 가지고 있어, 다양한 문제 해결에 활용됩니다.
📐 공식과 성질
📌 기본 공식
원기둥 부피 = πr2h
원뿔 부피 = 1/3πr2h
구의 부피 = 4/3πr3
📌 응용
원기둥 겉넓이 = 2πr(h + r)
원뿔 겉넓이 = πr(r + l)
📌 주의사항
반지름과 높이를 혼동하지 않도록 주의하세요. 특히, 원뿔의 경우 높이와 경사길이(l)를 구분하는 것이 중요합니다.
📝 단계별 예시
🟢 기초 단계
가장 기본적인 개념을 이해하는 단계입니다.
예시 1 – 기본 개념 이해
반지름이 3cm, 높이가 5cm인 원기둥의 부피를 구하세요.
💡 풀이:
원기둥의 부피 공식은 πr2h입니다. 따라서, 부피 = π × 32 × 5 = 45π cm3입니다.
예시 2 – 기초 응용
반지름이 4cm인 구의 부피를 구하세요.
💡 풀이:
구의 부피 공식은 4/3πr3입니다. 따라서, 부피 = 4/3 × π × 43 = 256/3π cm3입니다.
🟡 중급 단계
개념을 응용하고 확장하는 단계입니다.
예시 3 – 복합 응용
반지름이 2cm, 높이가 6cm인 원뿔의 부피와 겉넓이를 구하세요.
💡 풀이:
원뿔의 부피는 1/3πr2h = 1/3 × π × 22 × 6 = 8π cm3입니다. 겉넓이는 πr(r + l)이며, l = √(r2 + h2) = √(4 + 36) = √40 = 2√10입니다. 따라서, 겉넓이 = π × 2(2 + 2√10) = 4π + 4π√10 cm2입니다.
예시 4 – 실전 유형
높이가 8cm, 반지름이 3cm인 원기둥의 겉넓이를 구하세요.
💡 풀이:
원기둥의 겉넓이는 2πr(h + r)입니다. 따라서, 겉넓이 = 2π × 3(8 + 3) = 66π cm2입니다.
🔴 심화 단계
내신과 수능에 대비하는 고난도 단계입니다.
예시 5 – 고난도 문제
반지름이 5cm인 구와 같은 부피를 가지는 원기둥의 높이를 구하세요.
💡 풀이:
구의 부피는 4/3πr3 = 4/3 × π × 53 = 500/3π cm3입니다. 원기둥의 부피는 πr2h이므로, 500/3π = π × 52 × h. 따라서, h = 500/3 × 1/25 = 20/3 cm입니다.
예시 6 – 통합 문제
높이가 10cm인 원뿔과 같은 부피를 가지는 구의 반지름을 구하세요.
💡 풀이:
원뿔의 부피는 1/3πr2h = 1/3 × π × r2 × 10. 구의 부피는 4/3πr3이므로, 1/3 × π × r2 × 10 = 4/3πr3. 따라서, r = 5√(3/4) cm입니다.
💡 시험 핵심 포인트
- ✅ 회전체의 정의와 원기둥, 원뿔, 구의 정의와 공식
- ✅ 내신/수능 출제 패턴
- ✅ 자주 틀리는 함정
- ✅ 실전 풀이 전략
- ✅ 빠른 계산 팁
