📐 산곡동 수학학원 Day 180
중2 부등식과 연립방정식 | 연립방정식의 활용: 증가와 감소에 관한 문제
🎯 핵심 개념
연립방정식은 두 개 이상의 방정식을 동시에 만족하는 해를 찾는 과정입니다. 증가와 감소에 관한 문제는 시간에 따른 변화량을 분석하여 두 개 이상의 조건을 만족시키는 값을 찾는 것이 중요합니다. 이러한 문제는 실생활에서의 변화 추세를 이해하고 예측하는 데 도움을 줍니다.
📐 공식과 성질
📌 기본 공식
y = mx + c
ax + by = c
📌 응용
x = (c - by) / a
y = (c - ax) / b
📌 주의사항
연립방정식의 해를 찾을 때, 두 방정식의 해가 존재하는지 반드시 확인해야 합니다.
📝 단계별 예시
🟢 기초 단계
가장 기본적인 개념을 이해하는 단계입니다.
예시 1 – 기본 개념 이해
두 개의 직선 y = 2x + 3과 y = -x + 5가 있습니다. 이 두 직선이 만나는 점의 좌표를 구하세요.
💡 풀이:
두 방정식을 연립하여 풀면, 2x + 3 = -x + 5가 됩니다. 이를 풀면 x = 2, y = 7이므로 만나는 점의 좌표는 (2, 7)입니다.
예시 2 – 기초 응용
한 물체가 시간에 따라 이동합니다. 시간 t에 대한 위치는 x = 3t + 2, y = 2t + 1로 주어집니다. t = 3일 때 물체의 위치를 구하세요.
💡 풀이:
t = 3을 대입하면, x = 3×3 + 2 = 11, y = 2×3 + 1 = 7이므로 물체의 위치는 (11, 7)입니다.
🟡 중급 단계
개념을 응용하고 확장하는 단계입니다.
예시 3 – 복합 응용
한 농부가 두 종류의 작물을 재배합니다. 작물 A는 매년 3%씩 증가하고, 작물 B는 매년 2%씩 감소합니다. 현재 작물 A의 수확량은 100kg, 작물 B의 수확량은 150kg입니다. 5년 후 두 작물의 수확량을 비교하세요.
💡 풀이:
작물 A: 100 × (1 + 0.03)5 = 115.93kg, 작물 B: 150 × (1 – 0.02)5 = 135.92kg. 따라서 5년 후 작물 A의 수확량이 더 많습니다.
예시 4 – 실전 유형
두 회사 A와 B가 있습니다. A 회사의 연간 수익은 매년 5%씩 증가하고, B 회사의 연간 수익은 매년 3%씩 감소합니다. 현재 A 회사의 수익은 200만원, B 회사의 수익은 250만원입니다. 몇 년 후 A 회사의 수익이 B 회사의 수익을 초과할까요?
💡 풀이:
A: 200 × (1 + 0.05)n, B: 250 × (1 – 0.03)n. 200 × (1.05)n > 250 × (0.97)n를 만족하는 n을 찾으면, n ≈ 9년 후 A 회사의 수익이 B 회사를 초과합니다.
🔴 심화 단계
내신과 수능에 대비하는 고난도 단계입니다.
예시 5 – 고난도 문제
어느 도시의 인구는 매년 4%씩 증가하고, 다른 도시의 인구는 매년 2%씩 감소합니다. 현재 두 도시의 인구는 각각 50만 명과 60만 명입니다. 몇 년 후 두 도시의 인구가 같아질까요?
💡 풀이:
50 × (1 + 0.04)n = 60 × (1 – 0.02)n를 풀어 n ≈ 18년 후 두 도시의 인구가 같아집니다.
예시 6 – 통합 문제
한 회사의 주가는 매년 6%씩 증가하고, 다른 회사의 주가는 매년 4%씩 감소합니다. 현재 두 회사의 주가는 각각 80만원과 100만원입니다. 몇 년 후 두 회사의 주가가 같아질까요?
💡 풀이:
80 × (1 + 0.06)n = 100 × (1 – 0.04)n를 풀어 n ≈ 13년 후 두 회사의 주가가 같아집니다.
💡 시험 핵심 포인트
- ✅ 연립방정식의 활용: 증가와 감소에 관한 문제의 정의와 공식
- ✅ 내신/수능 출제 패턴
- ✅ 자주 틀리는 함정
- ✅ 실전 풀이 전략
- ✅ 빠른 계산 팁
