📐 산곡동 수학학원 Day 118
중1 입체도형 | 뿔의 겉넓이와 부피 (기둥 부피의 1/3)
🎯 핵심 개념
뿔은 밑면이 다각형이고, 꼭대기가 한 점으로 모이는 입체도형입니다. 뿔의 부피는 같은 밑면과 높이를 가진 기둥의 부피의 1/3입니다. 이는 뿔의 구조적 특성에서 비롯되며, 다양한 문제 해결에 중요한 역할을 합니다.
📐 공식과 성질
📌 기본 공식
부피 = (밑면의 넓이 × 높이) ÷ 3
📌 응용
겉넓이 = 밑면의 넓이 + 옆면의 넓이
📌 주의사항
부피를 구할 때는 항상 밑면의 넓이와 높이를 정확히 측정해야 합니다.
📝 단계별 예시
🟢 기초 단계
가장 기본적인 개념을 이해하는 단계입니다.
예시 1 – 기본 개념 이해
한 변의 길이가 4cm인 정사각형 밑면을 가진 뿔의 높이가 9cm일 때, 부피를 구하세요.
💡 풀이:
밑면의 넓이 = 4cm × 4cm = 16cm2
부피 = (16cm2 × 9cm) ÷ 3 = 48cm3
예시 2 – 기초 응용
밑면의 반지름이 3cm인 원뿔의 높이가 6cm일 때, 부피를 구하세요.
💡 풀이:
밑면의 넓이 = π × 3cm × 3cm = 9π cm2
부피 = (9π cm2 × 6cm) ÷ 3 = 18π cm3
🟡 중급 단계
개념을 응용하고 확장하는 단계입니다.
예시 3 – 복합 응용
밑면이 정삼각형이고 한 변의 길이가 6cm인 뿔의 높이가 8cm일 때, 부피를 구하세요.
💡 풀이:
밑면의 넓이 = (√3/4) × 6cm × 6cm = 9√3 cm2
부피 = (9√3 cm2 × 8cm) ÷ 3 = 24√3 cm3
예시 4 – 실전 유형
밑면이 직사각형이고 가로 5cm, 세로 4cm인 뿔의 높이가 10cm일 때, 부피를 구하세요.
💡 풀이:
밑면의 넓이 = 5cm × 4cm = 20cm2
부피 = (20cm2 × 10cm) ÷ 3 = 66.67cm3
🔴 심화 단계
내신과 수능에 대비하는 고난도 단계입니다.
예시 5 – 고난도 문제
밑면이 정사각형이고 한 변의 길이가 10cm인 뿔의 높이가 15cm일 때, 겉넓이를 구하세요.
💡 풀이:
밑면의 넓이 = 10cm × 10cm = 100cm2
옆면의 넓이 = 4 × (10cm × 15cm ÷ 2) = 300cm2
겉넓이 = 100cm2 + 300cm2 = 400cm2
예시 6 – 통합 문제
밑면이 정육각형이고 한 변의 길이가 6cm인 뿔의 높이가 12cm일 때, 부피를 구하세요.
💡 풀이:
밑면의 넓이 = (3√3/2) × 6cm × 6cm = 54√3 cm2
부피 = (54√3 cm2 × 12cm) ÷ 3 = 216√3 cm3
💡 시험 핵심 포인트
- ✅ 뿔의 겉넓이와 부피 (기둥 부피의 1/3)의 정의와 공식
- ✅ 내신/수능 출제 패턴
- ✅ 자주 틀리는 함정
- ✅ 실전 풀이 전략
- ✅ 빠른 계산 팁
