📐 산곡동 수학학원 Day 172
중2 부등식과 연립방정식 | 연립방정식의 풀이: 대입법
🎯 핵심 개념
연립방정식의 풀이에서 대입법은 두 개 이상의 방정식을 풀 때 한 방정식에서 변수를 다른 방정식에 대입하여 푸는 방법입니다. 이 방법은 주로 두 개의 방정식이 주어졌을 때, 하나의 방정식에서 한 변수를 다른 변수에 대한 식으로 표현하고, 이를 다른 방정식에 대입하여 하나의 변수에 대한 방정식을 푸는 방식입니다. 대입법은 특히 변수의 개수가 적을 때 유용하며, 복잡한 연립방정식을 간단하게 풀 수 있는 강력한 도구입니다.
📐 공식과 성질
📌 기본 공식
x = y + 3 (첫 번째 방정식에서 x를 y에 대한 식으로 표현) → 2(y + 3) + y = 7 (두 번째 방정식에 대입)
📌 응용
x = 2y - 5 (첫 번째 방정식에서 x를 y에 대한 식으로 표현) → 3(2y - 5) + 4y = 12 (두 번째 방정식에 대입)
📌 주의사항
대입법을 사용할 때, 대입한 식이 너무 복잡해지지 않도록 주의해야 합니다. 가능한 한 간단한 식으로 대입하는 것이 좋습니다.
📝 단계별 예시
🟢 기초 단계
가장 기본적인 개념을 이해하는 단계입니다.
예시 1 – 기본 개념 이해
x + y = 5와 2x – y = 3의 연립방정식을 풉니다.
💡 풀이:
첫 번째 방정식에서 y = 5 – x로 표현합니다. 이를 두 번째 방정식에 대입하면 2x – (5 – x) = 3이 됩니다. 이를 풀면 x = 2가 나오고, y = 3이 됩니다.
예시 2 – 기초 응용
3x + 2y = 12와 x – y = 1의 연립방정식을 풉니다.
💡 풀이:
두 번째 방정식에서 x = y + 1로 표현합니다. 이를 첫 번째 방정식에 대입하면 3(y + 1) + 2y = 12가 됩니다. 이를 풀면 y = 2가 나오고, x = 3이 됩니다.
🟡 중급 단계
개념을 응용하고 확장하는 단계입니다.
예시 3 – 복합 응용
4x – 3y = 7과 2x + y = 5의 연립방정식을 풉니다.
💡 풀이:
두 번째 방정식에서 y = 5 – 2x로 표현합니다. 이를 첫 번째 방정식에 대입하면 4x – 3(5 – 2x) = 7이 됩니다. 이를 풀면 x = 2가 나오고, y = 1이 됩니다.
예시 4 – 실전 유형
5x + 4y = 20과 x – 2y = 3의 연립방정식을 풉니다.
💡 풀이:
두 번째 방정식에서 x = 2y + 3으로 표현합니다. 이를 첫 번째 방정식에 대입하면 5(2y + 3) + 4y = 20이 됩니다. 이를 풀면 y = 1이 나오고, x = 5가 됩니다.
🔴 심화 단계
내신과 수능에 대비하는 고난도 단계입니다.
예시 5 – 고난도 문제
6x – y = 11과 3x + 2y = 18의 연립방정식을 풉니다.
💡 풀이:
첫 번째 방정식에서 y = 6x – 11로 표현합니다. 이를 두 번째 방정식에 대입하면 3x + 2(6x – 11) = 18이 됩니다. 이를 풀면 x = 4가 나오고, y = 13이 됩니다.
예시 6 – 통합 문제
2x + 3y = 13과 4x – y = 5의 연립방정식을 풉니다.
💡 풀이:
두 번째 방정식에서 y = 4x – 5로 표현합니다. 이를 첫 번째 방정식에 대입하면 2x + 3(4x – 5) = 13이 됩니다. 이를 풀면 x = 2가 나오고, y = 3이 됩니다.
💡 시험 핵심 포인트
- ✅ 연립방정식의 풀이: 대입법의 정의와 공식
- ✅ 내신/수능 출제 패턴
- ✅ 자주 틀리는 함정
- ✅ 실전 풀이 전략
- ✅ 빠른 계산 팁
