📐 산곡동 수학학원 Day 5
중1 소인수분해 | 공약수와 최대공약수의 성질
🎯 핵심 개념
공약수란 두 수 이상의 모든 약수 중에서 공통되는 약수를 말합니다. 두 수의 공약수 중 가장 큰 수를 최대공약수라고 합니다. 최대공약수는 여러 수의 소인수분해를 통해 쉽게 구할 수 있으며, 수의 나눗셈과 약분에 중요한 역할을 합니다.
📐 공식과 성질
📌 기본 공식
최대공약수(최대공약수(a, b))는 각 수의 소인수분해 결과 중
겹치는 소인수의 곱으로 구합니다.
📌 응용
두 수의 최대공약수는 유클리드 호제법을 사용하여
더 빠르게 계산할 수 있습니다.
📌 주의사항
소인수분해를 할 때, 모든 수에 대해 공통된 소인수를 찾는 것이 중요합니다.
📝 단계별 예시
🟢 기초 단계
가장 기본적인 개념을 이해하는 단계입니다.
예시 1 – 공약수 찾기
24와 36의 공약수를 모두 구하세요.
💡 풀이:
24 = 2³ x 3, 36 = 2² x 3² 입니다. 공통 소인수는 2와 3이며, 공약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12입니다.
예시 2 – 최대공약수 구하기
16과 24의 최대공약수를 구하세요.
💡 풀이:
16 = 2⁴, 24 = 2³ x 3, 공통 소인수 2의 최소 지수는 3, 따라서 최대공약수는 2³ = 8입니다.
🟡 중급 단계
개념을 응용하고 확장하는 단계입니다.
예시 3 – 유클리드 호제법
60과 48의 최대공약수를 유클리드 호제법으로 구하세요.
💡 풀이:
60 ÷ 48 = 1 (나머지 12), 48 ÷ 12 = 4 (나머지 0), 최대공약수는 12입니다.
예시 4 – 소인수분해 활용
45와 75의 최대공약수를 소인수분해로 구하세요.
💡 풀이:
45 = 3² x 5, 75 = 3 x 5², 공통 소인수는 3과 5, 따라서 최대공약수는 3 x 5 = 15입니다.
🔴 심화 단계
내신과 수능에 대비하는 고난도 단계입니다.
예시 5 – 세 수의 최대공약수
30, 45, 60의 최대공약수를 구하세요.
💡 풀이:
30 = 2 x 3 x 5, 45 = 3² x 5, 60 = 2² x 3 x 5, 공통 소인수 3과 5, 최대공약수는 3 x 5 = 15입니다.
예시 6 – 다항식의 최대공약수
다항식 3x²y와 6xy²의 최대공약수를 구하세요.
💡 풀이:
3x²y = 3 x x x y, 6xy² = 2 x 3 x x x y x y, 공통 인수는 3xy, 따라서 최대공약수는 3xy입니다.
💡 시험 핵심 포인트
- ✅ 공약수와 최대공약수의 성질의 정의와 공식
- ✅ 내신/수능 출제 패턴
- ✅ 자주 틀리는 함정
- ✅ 실전 풀이 전략
- ✅ 빠른 계산 팁
