📐 산곡동 수학학원 Day 11
중1 소인수분해 | 최대공약수와 최소공배수의 관계
🎯 핵심 개념
최대공약수(GCD)와 최소공배수(LCM)는 두 수의 약수와 배수의 관계를 나타내는 중요한 개념입니다. 두 수의 최대공약수는 두 수 모두를 나눌 수 있는 가장 큰 수이고, 최소공배수는 두 수 모두의 배수이면서 가장 작은 수입니다. 이 두 개념은 소인수분해를 통해 쉽게 구할 수 있으며, 이들의 관계는 GCD와 LCM의 곱이 두 수의 곱과 같다는 중요한 성질을 가집니다.
📐 공식과 성질
📌 기본 공식
GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × b
📌 응용
LCM(a, b) = (a × b) / GCD(a, b)
📌 주의사항
소인수분해를 정확히 해야 GCD와 LCM을 올바르게 구할 수 있습니다. 각 수의 공통 소인수를 확인하세요.
📝 단계별 예시
🟢 기초 단계
가장 기본적인 개념을 이해하는 단계입니다.
예시 1 – 기본 개념 이해
12와 18의 최대공약수와 최소공배수를 구하시오.
💡 풀이:
12=2^2×3, 18=2×3^2 이므로 공통 소인수는 2와 3입니다.
최대공약수 GCD(12, 18) = 2×3 = 6,
최소공배수 LCM(12, 18) = (2^2×3^2)=36.
예시 2 – 기초 응용
8과 14의 최소공배수와 최대공약수를 구하시오.
💡 풀이:
8=2^3, 14=2×7.
최대공약수 GCD(8, 14) = 2,
최소공배수 LCM(8, 14) = 2^3×7=56.
🟡 중급 단계
개념을 응용하고 확장하는 단계입니다.
예시 3 – 복합 응용
20과 30의 곱과 최대공약수, 최소공배수를 활용하여 관계를 설명하시오.
💡 풀이:
20=2^2×5, 30=2×3×5.
GCD(20, 30) = 10, LCM(20, 30) = 60.
20×30 = 600, GCD×LCM = 10×60 = 600.
두 값이 동일함을 확인할 수 있습니다.
예시 4 – 실전 유형
15와 45의 최대공약수와 최소공배수를 구하고, 공식으로 확인하시오.
💡 풀이:
15=3×5, 45=3^2×5.
GCD(15, 45) = 15, LCM(15, 45) = 45.
15×45 = 675, GCD×LCM = 15×45 = 675.
공식이 성립함을 알 수 있습니다.
🔴 심화 단계
내신과 수능에 대비하는 고난도 단계입니다.
예시 5 – 고난도 문제
두 수 28과 35의 최대공약수와 최소공배수를 구하고, 두 수의 곱을 이용하여 확인하시오.
💡 풀이:
28=2^2×7, 35=5×7.
GCD(28, 35) = 7, LCM(28, 35) = 140.
28×35 = 980, GCD×LCM = 7×140 = 980.
공식이 맞음을 확인할 수 있습니다.
예시 6 – 통합 문제
두 수 48과 64의 최대공약수와 최소공배수를 구하고, 이들의 관계를 설명하시오.
💡 풀이:
48=2^4×3, 64=2^6.
GCD(48, 64) = 2^4 = 16, LCM(48, 64) = 2^6×3 = 192.
48×64 = 3072, GCD×LCM = 16×192 = 3072.
관계를 통해 공식이 성립함을 확인할 수 있습니다.
💡 시험 핵심 포인트
- ✅ 최대공약수와 최소공배수의 관계의 정의와 공식
- ✅ 내신/수능 출제 패턴
- ✅ 자주 틀리는 함정
- ✅ 실전 풀이 전략
- ✅ 빠른 계산 팁
