📐 산곡동 수학학원 Day 100
중1 정비례와 반비례 | 도형의 성질(넓이 등)을 이용한 비례 관계
🎯 핵심 개념
도형의 성질을 이용한 비례 관계는 도형의 넓이, 둘레와 같은 성질이 비례 관계를 형성할 때 활용됩니다. 예를 들어, 두 도형의 넓이가 비례한다면 그 비율은 일정하게 유지됩니다. 이러한 관계는 문제 해결에 있어 중요한 역할을 하며, 다양한 도형 문제에서 활용됩니다.
📐 공식과 성질
📌 기본 공식
넓이 비례 관계: A1/A2 = (a1/a2)2
📌 응용
둘레 비례 관계: P1/P2 = a1/a2
📌 주의사항
비례 관계를 적용할 때는 도형의 종류와 성질을 정확히 이해해야 합니다. 예를 들어, 원의 경우 반지름의 제곱이 넓이에 비례합니다.
📝 단계별 예시
🟢 기초 단계
가장 기본적인 개념을 이해하는 단계입니다.
예시 1 – 기본 개념 이해
두 정사각형의 한 변의 길이가 각각 3cm와 6cm일 때, 넓이의 비율을 구하세요.
💡 풀이:
정사각형의 넓이는 한 변의 길이의 제곱입니다. 따라서 넓이의 비율은 (32) : (62) = 9 : 36 = 1 : 4입니다.
예시 2 – 기초 응용
두 원의 반지름이 각각 2cm와 4cm일 때, 넓이의 비율을 구하세요.
💡 풀이:
원의 넓이는 πr2입니다. 따라서 넓이의 비율은 (22) : (42) = 4 : 16 = 1 : 4입니다.
🟡 중급 단계
개념을 응용하고 확장하는 단계입니다.
예시 3 – 복합 응용
두 직사각형의 가로와 세로의 길이가 각각 (4cm, 6cm)와 (8cm, 12cm)일 때, 넓이의 비율을 구하세요.
💡 풀이:
직사각형의 넓이는 가로 × 세로입니다. 따라서 넓이의 비율은 (4 × 6) : (8 × 12) = 24 : 96 = 1 : 4입니다.
예시 4 – 실전 유형
두 삼각형의 밑변과 높이가 각각 (5cm, 10cm)와 (10cm, 20cm)일 때, 넓이의 비율을 구하세요.
💡 풀이:
삼각형의 넓이는 1/2 × 밑변 × 높이입니다. 따라서 넓이의 비율은 (1/2 × 5 × 10) : (1/2 × 10 × 20) = 25 : 100 = 1 : 4입니다.
🔴 심화 단계
내신과 수능에 대비하는 고난도 단계입니다.
예시 5 – 고난도 문제
한 원의 반지름이 3배 증가할 때, 넓이는 몇 배 증가하는지 구하세요.
💡 풀이:
원의 넓이는 πr2입니다. 반지름이 3배 증가하면 넓이는 (3r)2 = 9r2가 되어, 넓이는 9배 증가합니다.
예시 6 – 통합 문제
두 원기둥의 반지름과 높이가 각각 (3cm, 5cm)와 (6cm, 10cm)일 때, 부피의 비율을 구하세요.
💡 풀이:
원기둥의 부피는 πr2h입니다. 따라서 부피의 비율은 (π × 32 × 5) : (π × 62 × 10) = 45 : 360 = 1 : 8입니다.
💡 시험 핵심 포인트
- ✅ 도형의 성질(넓이 등)을 이용한 비례 관계의 정의와 공식
- ✅ 내신/수능 출제 패턴
- ✅ 자주 틀리는 함정
- ✅ 실전 풀이 전략
- ✅ 빠른 계산 팁
