📐 산곡동 수학학원 Day 83
중1 좌표평면과 그래프 | 시간에 따른 높이 변화 그래프 해석
🎯 핵심 개념
시간에 따른 높이 변화 그래프는 시간의 흐름에 따라 물체의 높이가 어떻게 변하는지를 시각적으로 나타내는 도구입니다. 이러한 그래프는 물체의 운동을 이해하고 예측하는 데 중요한 역할을 합니다. 그래프의 기울기와 형태를 통해 물체의 속도와 가속도를 파악할 수 있습니다. 이를 통해 물체가 언제 가장 높은 위치에 도달하는지, 언제 가장 빠르게 움직이는지를 알 수 있습니다.
📐 공식과 성질
📌 기본 공식
h(t) = h0 + v0t - (1/2)gt2
📌 응용
v(t) = v0 - gt
📌 주의사항
그래프의 기울기가 양수일 때는 물체가 상승하고, 음수일 때는 하강합니다. 최고점에서는 기울기가 0이 됩니다.
📝 단계별 예시
🟢 기초 단계
가장 기본적인 개념을 이해하는 단계입니다.
예시 1 – 기본 개념 이해
어떤 물체가 처음 높이 0m에서 초속 10m/s로 수직으로 던져졌습니다. 이 물체의 높이 변화를 시간에 따라 나타내는 그래프를 그려보세요.
💡 풀이:
공식을 사용하여 h(t) = 10t – 5t2를 얻습니다. 이 식을 통해 그래프를 그리면 포물선 형태가 나타납니다.
예시 2 – 기초 응용
높이 5m에서 초속 15m/s로 던져진 물체의 높이 변화를 시간에 따라 나타내는 그래프를 그려보세요.
💡 풀이:
공식을 사용하여 h(t) = 5 + 15t – 5t2를 얻습니다. 이 식을 통해 그래프를 그리면 포물선 형태가 나타납니다.
🟡 중급 단계
개념을 응용하고 확장하는 단계입니다.
예시 3 – 복합 응용
높이 10m에서 초속 20m/s로 던져진 물체가 언제 최고점에 도달하는지 구하고, 그때의 높이를 계산하세요.
💡 풀이:
속도 공식 v(t) = 20 – 10t를 사용하여 v(t) = 0이 되는 t = 2초를 찾습니다. 이때 높이는 h(2) = 10 + 20×2 – 5×22 = 30m입니다.
예시 4 – 실전 유형
높이 0m에서 초속 25m/s로 던져진 물체가 땅에 도달하는 시간을 구하세요.
💡 풀이:
공식 h(t) = 25t – 5t2를 사용하여 h(t) = 0이 되는 t를 구합니다. 이차방정식을 풀어 t = 0 또는 t = 5초가 됩니다. 따라서 땅에 도달하는 시간은 5초입니다.
🔴 심화 단계
내신과 수능에 대비하는 고난도 단계입니다.
예시 5 – 고난도 문제
높이 15m에서 초속 30m/s로 던져진 물체가 최고점에 도달한 후 다시 15m 높이로 돌아오는 시간을 구하세요.
💡 풀이:
공식 h(t) = 15 + 30t – 5t2를 사용하여 h(t) = 15가 되는 t를 구합니다. 이차방정식을 풀어 t = 0 또는 t = 6초가 됩니다. 따라서 최고점에 도달한 후 다시 15m로 돌아오는 시간은 6초입니다.
예시 6 – 통합 문제
높이 20m에서 초속 35m/s로 던져진 물체가 최고점에 도달하는 시간과 그때의 높이를 구하고, 다시 땅에 도달하는 시간을 계산하세요.
💡 풀이:
속도 공식 v(t) = 35 – 10t를 사용하여 v(t) = 0이 되는 t = 3.5초를 찾습니다. 이때 높이는 h(3.5) = 20 + 35×3.5 – 5×(3.5)2 = 80.625m입니다. 땅에 도달하는 시간은 h(t) = 0을 풀어 t = 7초입니다.
💡 시험 핵심 포인트
- ✅ 시간에 따른 높이 변화 그래프 해석의 정의와 공식
- ✅ 내신/수능 출제 패턴
- ✅ 자주 틀리는 함정
- ✅ 실전 풀이 전략
- ✅ 빠른 계산 팁
