📐 산곡동 수학학원 Day 82
중1 좌표평면과 그래프 | 그래프의 해석 (증가, 감소, 정지 등)
🎯 핵심 개념
그래프는 함수의 변화를 시각적으로 나타내는 도구로, 그래프의 기울기를 통해 함수가 증가하는지, 감소하는지, 혹은 일정한지를 해석할 수 있습니다. 증가하는 구간에서는 그래프가 위로 올라가고, 감소하는 구간에서는 아래로 내려갑니다. 정지 구간은 기울기가 0인 경우로, 그래프가 수평선을 이루게 됩니다. 이러한 해석은 함수의 특성을 이해하고 문제를 해결하는 데 중요한 역할을 합니다.
📐 공식과 성질
📌 기본 공식
y = mx + b
여기서 m은 기울기로, 양수면 증가, 음수면 감소, 0이면 정지를 나타냅니다.
📌 응용
f'(x) > 0, f'(x) < 0, f'(x) = 0
함수의 도함수 f'(x)를 통해 증가, 감소, 정지를 판단할 수 있습니다.
📌 주의사항
기울기가 0일 때는 항상 정지 상태가 아니라, 극값일 수도 있으니 주의해야 합니다.
📝 단계별 예시
🟢 기초 단계
가장 기본적인 개념을 이해하는 단계입니다.
예시 1 – 기본 개념 이해
y = 2x + 3의 그래프는 증가하는가, 감소하는가?
💡 풀이:
기울기 m = 2로 양수이므로, 그래프는 증가합니다.
예시 2 – 기초 응용
y = -3x + 5의 그래프는 증가하는가, 감소하는가?
💡 풀이:
기울기 m = -3로 음수이므로, 그래프는 감소합니다.
🟡 중급 단계
개념을 응용하고 확장하는 단계입니다.
예시 3 – 복합 응용
f(x) = x2 – 4x + 4의 증가, 감소 구간을 찾아라.
💡 풀이:
도함수 f'(x) = 2x – 4를 통해, x = 2에서 극값을 가집니다. x 2에서는 증가합니다.
예시 4 – 실전 유형
g(x) = -x2 + 6x – 9의 증가, 감소 구간을 찾아라.
💡 풀이:
도함수 g'(x) = -2x + 6을 통해, x = 3에서 극값을 가집니다. x 3에서는 감소합니다.
🔴 심화 단계
내신과 수능에 대비하는 고난도 단계입니다.
예시 5 – 고난도 문제
h(x) = x3 – 3x2 + 2의 증가, 감소 구간을 찾아라.
💡 풀이:
도함수 h'(x) = 3x2 – 6x를 통해, x = 0, 2에서 극값을 가집니다. 구간별로 증가, 감소를 판단합니다.
예시 6 – 통합 문제
k(x) = x4 – 4x3 + 4x2의 증가, 감소 구간을 찾아라.
💡 풀이:
도함수 k'(x) = 4x3 – 12x2 + 8x를 통해, x = 0, 1, 2에서 극값을 가집니다. 구간별로 증가, 감소를 판단합니다.
💡 시험 핵심 포인트
- ✅ 그래프의 해석 (증가, 감소, 정지 등)의 정의와 공식
- ✅ 내신/수능 출제 패턴
- ✅ 자주 틀리는 함정
- ✅ 실전 풀이 전략
- ✅ 빠른 계산 팁
